BILANGAN BULAT (PERTEMUAN KE-4)

BILANGAN BERPANGKAT, KPK DAN FPB

1. BILANGAN BERPANGKAT

 

Pada saat upacara bendera di sekolah, Rogu bergabung ke dalam grup paduan suara yang

selama ini ia idam-idamkan. Grup tersebut terdiri dari 5 baris. Baris pertama, bertugas

untuk memainkan pianika, baris kedua bertugas untuk memainkan recorder, dan baris

ketiga sampai kelima bertugas untuk menyanyikan lagu Indonesia Raya dan

Mengheningkan Cipta. Rogu, berada pada baris pertama yang bertugas untuk

memainkan pianika. Setiap baris terdiri dari 5 orang anak. Dapatkah kamu menghitung

berapa jumlah seluruh anak yang bergabung dalam grup paduan suara tersebut?

untuk menghitung jumlah seluruh anak dalam grup tersebut, kamu dapat

menggunakan cara perkalian sebagai berikut: 

5 x 5 

Ternyata, perkalian di atas termasuk salah satu contoh dari perkalian berulang, lho.

Kenapa? Karena perkalian tersebut terdiri dari bilangan dengan faktor-faktor yang sama,

yaitu 5. Tahukah kamu, setiap perkalian berulang dapat ditulis secara ringkas

dengan menggunakan notasi bilangan berpangkat seperti di bawah ini: 

5² (dibaca 5 pangkat 2) 

Nah, Jadi jawabannya sudah pada tahu ya, yaitu 5² = 5 x 5 = 25 orang anak. 

Oke, agar kamu lebih paham lagi tentang notasi bilangan berpangkat, yuk perhatikan contoh berikut:

2 x 2 x 2 = 2³ (dibaca 2 pangkat 3) 

3 x 3 x 3 x 3 = 34 (dibaca 3 pangkat 4) 

a x a x a x ... x a = an (dibaca a pangkat n) 

Jika kamu melihat contoh-contoh di atas, maka dapat kamu ketahui kalau

perpangkatan adalah suatu bilangan yang dikalikan dengan dirinya

sendiri sebanyak jumlah pangkatnya (n kali).

Pada prinsipnya, ternyata rumus perpangkatan pada bentuk aljabar sama dengan

perpangkatan pada bilangan bulat. 

Contoh :

Nyatakan bilangan-bilangan berikut dalam bentuk perkalian berulang

1. 73 = 7 x 7 x 7 

2. 24 = 2 x 2 x 2 x 2

3. (-3)3 = (-3) x (-3) x (-3) 

Menyatakan bilangan desimal menjadi bilangan berpangkat positif 

Berikut ini beberapa bilangan desimal yang dinyatakan dalam bilangan berpangkat positif

Contoh 

1. Jadikan 81 sebagai bilangan berpangkat ! 

Penyelesaian 

81 : 3 = 27 

27 : 3 = 9 

9 : 3 = 3 

Jadi 81 = 3 x 3 x 3 x 3 = 34 

2. Jadikan bilangan 144 sebagai bilangan berpangkat ! 

Penyelesaian 

144 : 2 = 72 

72 : 2 = 36 

36 : 2 = 18 

18 : 2 = 9 

9 : 3 = 3 

144 = 2 x 2 x 2 x 2 x 3 x 3 = 24 x 32 

3. Tentukan bilangan yang lebih besar antara 56 dan 65 

Penyelesaian 

Untuk membandingkan bilangan berpangkat kita ubah dulu menjadi bilangan desimal

56 = 5 x 5 x 5 x 5 x 5 x 5 = 15.625 

65 = 6 x 6 x 6 x 6 x 6 = 7.776 

Setelah kita ubah menjadi bilangan desimal , nampak bahwa 56 lebih besar dari 65 

2. Kelipatan persekutuan terkecil ( KPK ) dan

Faktor Persekutuan Terbesar ( FPB ) Bilangan Prima

dan Faktorisasi Prima 

Bilangan prima: bilangan bulat positif dengan dua faktor, yaitu hanya dapat 

dibagi 1 dan bilangan itu sendiri. Contoh: 2, 3, 5, 7, 11.  

Faktor prima: faktor-faktor yang merupakan bilangan prima. 

Contoh: 2 dan 3 adalah faktor prima dari 36. 

Faktorisasi prima: proses menyatakan suatu bilangan bulat sebagai hasil perkalian  

dari faktor faktor prima. Contoh: 36 = 2x2x3x3 atau 2²x3² 

Ada cara mudah untuk menentukan faktorisasi prima, yaitu menggunakan  

pohon faktor (membagi bilangan tersebut hingga menyisakan faktor-faktor prima saja).

Menentukan KPK dengan Faktorisasi Prima 

Contoh 

Tentukan KPK dari 90 dan 168. 

Penyelesaian 

Langkah 1: menyatakan bilangan 90 dan 168 ke dalam bentuk faktorisasi prima.

Untuk menentukannya bisa menggunakan bantuan pohon faktor, sebagai berikut.

Langkah 2: Mengalikan semua faktor-faktor pada masing-masing bilangan

dengan ketentuan: Jika terdapat faktor prima yang sama pada kedua bilangan,

maka dipilih yang pangkat tertinggi. KPK dari 90 dan 168 adalah 23 × 32 × 5 × 7 = 2.520. 

Menentukan FPB dengan Faktorisasi Prima 

Contoh : 

Tentukan FPB dari 90 dan 168 

Penyelesaian 

Langkah 1: menyatakan bilangan 90 dan 168 ke dalam bentuk faktorisasi prima.

Untuk menentukannya bisa menggunakan bantuan pohon faktor, sebagai berikut.

Langkah 2 : Mengalikan semua faktor-faktor yang sama pada masing-masing

bilangan dengan ketentuan : pilih yang pangkat terendah. 

FPB dari 90 dan 168 adalah 2 × 3 = 6. 

Penyelesaian permasalahan nyata dengan KPK dan FPB 

Contoh :

1. Fila dan Farah menabung di Bank A, Fila menyimpan setiap 4 hari dan
Farah setiap 6 hari. Mereka berdua menabung bersama untuk pertama kalinya
pada tanggal 15 Juli 2018. Pada tanggal berapa mereka menabung bersama
untuk yang kedua dan ketiga kalinya ?

Penyelesaian : 

Fila setiap 4 hari sekali = 22 

Farah setiap 6 hari sekali = 2×3

KPK = 22 × 3 = 12

Mereka menabung bersama pertama kali = 15 Juli 2018

menabung bersama kedua kalinya = 15 Juli 2018 + 12 hari = 27 Juli 2018

menabung bersama untuk ketiga kalinya = 27 Juli 2018 + 12 hari = 8 Agustus 2018 

2. Dua pita memiliki panjang 18 cm dan 30 cm. Pita tersebut dipotong menjadi

beberapa bagian dengan panjang yang sama. Berapa ukuran terpanjang

untuk masing-masing bagian?

Penyelesaian : 

Panjang pita 18 = 2 x 32 

Panjang pita 30 = 2 x 3 x 5

FPB dari 18 dan 30 = 2 × 3 = 6

Karena itu ukuran terpanjang untuk masing-masing bagian adalah 6 cm.

3. Dani pergi ke perpustakaan setiap 4 hari, Ruri pergi ke perpustakaan setiap 6 hari.

Jika mereka pergi ke perpustakaan bersama pada hari Selasa, hari apa mereka

kembali ke perpustakaan bersama? 

Penyelesaian :

Dani pergi setiap 4 hari sekali = 22 

Ruri pergi setiap 6 hari sekali = 2×3

KPK = 22 × 3 = 12 

Mereka pergi bersama pada hari Selasa 

Mereka pergi bersama lagi pada hari = Selasa + 12 hari 

Jadi mereka bersama lagi pada hari Minggu