HIMPUNAN (2)

Himpunan Kosong, Himpunan Semesta, Diagram Venn, 

Kardinalitas Himpunan, Himpunan Bagian, Himpunan Kuasa

Himpunan Kosong

Himpunan kosong adalah himpunan yang tidak memiliki anggota. Himpunan kosong dinyatakan dengan lambang "{}" atau "∅".

Contoh 1

B = {bilangan cacah antara 2 dan 3}

Jawab:

Himpunan ini tidak memiliki angota, sehingga himpunan ini disebut kosong.

Ditulis, B = {} atau B = ∅

Contoh 2

Selidikilah apakah himpunan berikut kosong atau bukan!

a. himpunan bilangan prima genap

b. himpunan bilangan genap yang habis dibagi 7

c. himpunan nama bilangan yang lamanya 32 hari tiap bulan

Jawab:

a. Bukan himpunan kosong karena ada anggotanya, yaitu: 2

b. Bukan himpunan kosong karena ada anggotanya, salah satunya adalah 42 habis dibagi 7 yaitu 6

c. Himpunan kosong, karena tidak ada 32 hari dalam sebulan

Himpunan Semesta

Himpunan semesta atau semesta pembicaraan adalah himpunan yang memuat semua objek yang sedang dibicarakan. Hal ini berarti semesta pembicaraan mempunyai anggota yang sama atau lebih banyak dari pada himpunan yang sedang dibicarakan. Himpunan semesta disimbolkan S.

Contoh

Jika A = {1, 3, 5, 7} maka dari himpunan A dapat ditentukan himpunan semesta yang mungkin yaitu.

a. S_1 = {bilangan ganjil} karena himpunan bilangan ganjil memuat semua anggota A.

b. S_2 = {bilangan asli} karena himpunan bilangan asli juga memuat semua anggota A.

c. S_3 = {1,3,5,7,9,11} karena himpunan ini memuat semua anggota A.

Diagram Venn

Diagram Venn adalah diagram yang menampilkan korelasi atau hubungan  antar himpunan yang    berkesuaian dalam suatu kelompok. Diagram ini dicetuskan oleh  ilmuwan   asal Inggris John Venn. Keuntungan yang diperoleh dengan adanya diagram Venn ini adalah  hubungan himpunan lebih mudah dipahami. 

Untuk membuat diagram Venn, ada beberapa hal yang perlu diperhatikan, yaitu sebagai berikut.

1. Himpunan semesta (S) dinyatakan dalam bentuk persegi panjang. Himpunan semesta adalah semua anggota himpunan yang di dalamnya memuat himpunan yang sedang menjadi fokus pembahasan.

2. Himpunan lain yang menjadi fokus pembahasan dinyatakan dalam bentuk lingkaran atau kurva tertutup.

3. Anggota setiap himpunan dinyatakan dalam bentuk titik atau noktah.

4. Jika anggota himpunannya tak terhingga, masing-masing anggota tidak perlu dinyatakan sebagai titik.

Untuk lebih jelasnya tentang  bentuk diagram Venn, perhatikan contoh berikut.

Contoh :

Gambarkanlah diagram Venn dari himpunan S= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, himpunan A ={1, 2, 3}, dan himpunan B={4, 5, 6}.

Kardinalitas himpunan 

Kardinalitas himpunan artinya  banyaknya anggota dari suatu himpunan, dinotasikan dengan n(A)

Contoh :

Tentukan kardinalitas himpunan A= {1, 2, 3, 4}!

Penyelesaian :

N(A) = 4, karena banyak anggota adalah 4 yaitu 1,2, 3, 4.

Himpunan Bagian

Pengertian Himpunan Bagian
Himpunan A adalah himpunan bagian dari B, jika dan hanya jika setiap anggota dari A merupakan anggota dari B. Ditulis A ⊂ B, dibaca "A himpunan bagian B".
Perhatikan himpunan-himpunan berikut:

A = {himpunan hewan}

B = {himpunan hewan berkaki empat}

C = {himpunan hewan berkaki empat yang bertelur}

Misalkan A, B dan C adalah sebagai berikut:

A = {kucing, anjing, buaya, kura-kura, burung}

B = {kucing, anjing, buaya, kura-kura}

C = {buaya, kura-kura}

Jika kita perhatikan, setiap anggota himpunan B merupakan anggota himpunan A, ditulis B ⊂ A dan setiap anggota himpunan C merupakan anggota himpunan B, ditulis C ⊂ B. Namun, kita tidak dapat menuliskan A ⊂ B karena ada anggota A yang bukan merupakan anggota B, yaitu burung. Oleh karena itu himpunan yang demikian ditulis A ⊄ B.

Menentukan Banyak Himpunan Bagian yang Mungkin (Rumus)

Banyaknya suatu himpunan, dengan mudah dapat kita tentukan dengan menggunakan rumus.

Perhatikan himpunan-himpunan berikut!

A = {a}, banyaknya himpunan bagian ada 2 yaitu {a} dan ∅

A = {a, b}, banyaknya himpunan bagian ada 4 yaitu {a} {b} {a, b} dan ∅

A = {a, b, c }, banyaknya himpunan bagian ada 8 yaitu {a} {b} {c} {a, b} {a, c} {b, c} {a, b, c} dan ∅

A = {a, b, c, d}, banyaknya himpunan bagian ada 16 yaitu {a} {b} {c} {d} {a, b} {a, c} {a, d} {b, c} {b, d} {c, d} {a, b, c} {a, b, d} {a, c, d} {b, c, d} {a, b, c, d}  dan ∅

Dari 4 (empat) himpunan di atas dapat kita lihat bahwa

n(A) = 2 = 2^1

n(A = 4 = 2^2

n(A) = 8 = 2^3

n(A = 16 = 2^4

Dengan demikian kita dapat membuat suatu kesimpulan yaitu sebagai berikut
Jika banyak anggota dari suatu himpunan ada "n" maka dari himpunan tersebut dapat dibuat himpunan bagian sebanyak 2n. 

Contoh:

Tentukan banyaknya himpunan bagian dari A jika A = {1,2,3}

Jawab:

n(A) = 3

jadi, N = 2³ = 8

Himpunan bagian dari A adalah sebagai berikut:

A= {1} {2} {3} {1,2} {1,3} {2,3} {1,2,3} ∅

Himpunan Kuasa

Himpunan kuasa atau power set adalah himpunan yang seluruh anggotanya merupakan kumpulan dari himpunan-himpunan bagian. Misalnya, kita ambil contoh himpunan kuasa dari A, maka dapat ditulis dengan notasi P(A) dengan anggota-anggotanya merupakan himpunan bagian dari himpunan A. Banyak anggota himpunan kuasa dapat dihitung menggunakan rumus n(P(A))= 2n(A), dengan n(A) adalah banyak anggota dari himpunan A.

Contoh:

Misalkan, terdapat suatu himpunan A yang anggotanya merupakan bilangan-bilangan ganjil 5. Maka, banyak anggota A adalah sebanyak 3 buah, yaitu A = {1, 3, 5}. P(A) merupakan himpunan kuasa dari A dengan semua anggotanya merupakan himpunan bagian dari A. Jadi, banyak anggota P(A) adalah n(P(A)) = 2n(A) = 23 = 8, yang terdiri dari { }, {1}, {3}, {5}, {1, 3}, {1, 5}, {3, 5}, {1, 3, 5}.