PERSAMAAN KUADRAT (3) : JENIS AKAR, JUMLAH DAN HASIL KALI AKAR, MENYUSUN PERSAMAAN BARU

Menentukan Jenis Akar-Akar Persamaan Kuadrat dengan Diskriminan

Perhatikan rumus abc berikut:

Pada rumus tersebut terdapat bentuk (b2 – 4ac) disebut diskriminan (D). Sifat akar-akar persamaan kuadrat dapat ditinjau dari nilai diskriminan, yaitu D = b2 – 4ac. Sifat akar-akar tersebut adalah.
a. Jika D > 0

1. Jika D > 0 maka persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 mempunyai 2 akar riil yang berlainan.
2. Jika D berbentuk kuadrat sempurna dan D ≠ 0 maka persamaan kuadrat memiliki 2 akar riil berlainan dan rasional jika a, b, dan c bilangan rasional.
3. Jika D bukan bentuk kuadrat sempurna dan D ≠ 0 maka memiliki 2 akar riil berlainan dan irasional

b. Jika D < 0 maka persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 tidak memiliki akar riil.
c. Jika D = 0 maka persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 memiliki 2 akar riil yang sama.

Contoh:
1. Tentukan jenis akar-akar persamaan kuadrat berikut, tanpa terlebih dahulu menentukan akar-akarnya.
a. 2x2 + 3x – 14 = 0

b. 2x2 + 3x + 4 = 0
c. 4x2 – 12x + 9 = 0

Jawab:
a. 2x2 + 3x – 14 = 0
Dengan nilai a = 2, b = 3, c = –14 maka
D = 32 – 4 ・ 2 ・ (–14)
    = 9 + 112
    = 121
Oleh karena D > 0 maka persamaan kuadrat 2x2 + 3x – 14 = 0 mempunyai 2 akar riil yang berbeda.

b. 2x2 + 3x + 4 = 0
Dengan nilai a = 2, b = 3, c = 4 maka
D = 32 – 4 ・ 2 ・ 4
    = 9 – 32

  = –23
Oleh karena D < 0 maka persamaan kuadrat 2x2 + 3x + 4 = 0 tidak mempunyai akar riil.

c. 4x2 – 12x + 9 = 0
Dengan nilai a = 4, b = –12, c = 9 maka
D = (–12)2 – 4 ・ 4 ・ 9
   = 144 – 144
   = 0
Oleh karena D = 0 maka persamaan kuadrat 4x2 – 12x + 9 = 0 mempunyai 2 akar kembar.

Jumlah dan Hasil Kali Akar-akar Persamaan Kuadrat

Berdasarkan rumus abc di atas, akar-akar persamaan kuadrat adalah sebagai berikut.

dan

a. Jumlah akar-akar persamaan kuadrat
x1 + x2 = 
           
Jadi, rumus jumlah akar-akar persamaan kuadrat adalah:


b. Hasil kali akar-akar persamaan kuadrat
x1 . x2 = 
          

Jadi, rumus hasil kali akar-akar persamaan kuadrat adalah:

Bentuk-bentuk simetri akar-akar persamaan kuadrat
1) x12 + x22 = (x1 + x2)2 – 2x1x2 (jumlah kuadrat akar-akar)
2) x13 + x23 = (x1 + x2)3 – 3x1x2 (x1+x2)
 
Contoh:
Diketahui x1, x2 merupakan akar-akar dari persamaan kuadrat x2 – 3x + 5 = 0, tentukan nilai dari:
a. x1 + x2
b. x1 ・ x2
c. x12 + x22
d. 
Jawab

x2 – 3x + 5 = 0
Dengan nilai a = 1, b = –3, c = 5, maka

a. x1 + x2 = –(-3)/1 = 3
b. x1 ・ x2 = 5/1 = 5
c. x12 + x22 = (x1 + x2)2 – 2x1x2
                    =( 3)2 – 2.5
                    = 9 – 10
                    = -1
d. 

Menyusun Persamaan Kuadrat Baru

Untuk rumus pertama yakni jika diketahui nilai dari akar-akarnya, maka persamaan kuadrat baru dapat diperoleh dengan cara memasukkan atau mensubstitusi nilai dari akar-akarnya yang telah diketahui ke dalam persamaan berikut:

Apabila diketahui jumlah dan hasil kali dari akar-akar persamaan kuadrat tersebut tanpa mengetahui nilai dari masing-masing akar-akarnya, maka kita dapat membentuk persamaan kuadrat baru menggunakan rumus berikut (rumus kedua):

Contoh:

1. Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya -1 dan 5!

Penyelesaianya:
misalkan x1 = -1 dan x2 = 5 maka persamaan kuadratnya
x2 – (x1 + x2)x + x1x2 = 0
x2 – (-1 + 5)x + (-1)(5) = 0
x2 – 4x - 5 = 0

2. Diketahui akar-akar persamaan kuadrat $x^2+2x+3=0$ adalah $\alpha$ dan $\beta$. Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya $(\alpha -2)$ dan $(\beta -2)$ adalah

Pembahasan:

Berdasarkan persamaan kuadrat baru $x^2+2x+3=0$, maka $a=1,b=2$ dan $c=3$. Maka jumlah dan hasil kali akar-akarnya adalah

Misalkan akar-akar dari persamaan kuadrat baru adalah $x_1$ dan $x_2$, yakni

Selanjutnya, carilah jumlah dan hasil kali dari akar-akar persamaan kuadrat baru yakni

Dengan demikian, kita peroleh