MENENTUKAN PERSAMAAN FUNGSI KUADRAT

Menentukan Persamaan Kuadrat Jika Koordinat Titik Puncak Diketahui

Misalkan kita memiliki P(xp, yp) sebagai titik puncak suatu grafik fungsi kuadrat. Fungsi kuadrat yang memiliki titik puncak P dapat dirumuskan menjadi y = a(x – xp)2 + yp .

Menentukan Fungsi Kuadrat yang Akar-Akarnya (Koordinat Titik-Titik Potong dengan Sumbu X) Diketahui

Misalkan x1 dan x2 adalah akar-akar suatu persamaan kuadrat. Bentuk persamaan kuadrat yang memiliki akar-akar tersebut adalah y = a(x – x1)(x – x2) .

Menentukan Fungsi Kuadrat dengan Koordinat Tiga Titik Sembarang pada Parabola Diketahui

Misalkan tiga titik (x1, y1), (x2, y2), dan (x3, y3) terletak pada parabola suatu grafik fungsi kuadrat. Bentuk persamaan kuadrat yang dilalui ketiga titik tersebut dapat ditentukan menggunakan rumus y = ax2 + bx + c .

CONTOH :

1. Diketahui koordinat titik puncak P(1, -16) dan koordinat titik yang dilalui parabola (2, -15). Tentukan persamaan fungsi kuadrat!

Jawab

Rumus persamaan kuadrat ketika diketahui titik puncak adalah y = a(x – xp)2 + yp, sehingga jika kita masukkan koordinat titik puncak, menjadi:

y = a(x – xp)2 + yp

y = a(x – 1)2 – 16

-15 = a(2 -1)2 – 16

a = 1

Sehingga, persamaan kuadrat yang dimaksud adalah,

y = (x – 1)2 – 16

y = x2 – 2x + 1 – 16

y = x2 – 2x – 15

2. Sebuah grafik fungsi kuadrat memotong sumbu-X di A(1, 0) dan B(2, 0). Apabila grafik tersebut juga melalui titik (0, 4), tentukanlah persamaan fungsi kuadratnya!

jawab

Persamaan fungsi kuadrat dapat dinyatakan sebagai y = a(x – 1)(x – 2). Nilai a ditentukan dari keterangan bahwa fungsi kuadrat itu melalui titik (0, 4). Artinya untuk nilai x = 0 diperoleh y = 4.

y = a(x – 1)(x – 2)

4 = a(0 – 1)(0 – 2)

4 = a(–1)( –2)

4 = 2a

a = 2

Dengan demikian, persamaan fungsi kuadratnya adalah sebagai berikut.

y = f(x)

y = a(x – 1)(x – 2)

y = 2(x – 1)(x – 2)

y = 2(x2 – x – 2x + 2)

y = 2(x2 –3x + 2)

y = 2x2 – 6x + 4

3. Grafik fungsi kuadrat f melalui titik-titik A(0, –6 ), B(–1, 0) dan C(1, –10). Tentukanlah Persamaan grafik fungsi kuadrat

Jawab

Menentukan persamaan grafik

Dari keterangan mengenai ciri-ciri grafik kita dapat menentukan persamaan fungsi kuadrat dengan menggunakan rumus sebagai berikut

y = f(x) = ax2 + bx + c

Pertama, kita tentukan nilai c terlebih dahulu. Nilai c dapat diketahui apabila nilai x = 0. Karena grafik melalui titik A(0, –6 ), maka

y = ax2 + bx + c ……………………………. Pers (1)

–6  = a(0)2 + b(0) + c

c = –6

jadi, sekarang kita dapatkan persamaan fungsi baru yaitu

y = ax2 + bx –6 ……………………………. Pers (2)

Kedua, kita tentukan nilai a dan b dengan menggunakan persamaan (2) dan dua titik lainnya dengan catatan nilai x ≠ 0.

Grafik melalui titik B(–1, 0), berarti x = –1 dan y = 0 sehingga kita dapatkan persamaan sebagai berikut

y = ax2 + bx –6

0 = a(–1)2 + b(–1) – 6

0 = a – b – 6

a – b = 6

a = 6 + b ……………………………. Pers (3)

Grafik melalui titik C(1, –10). berarti x = 1 dan y = –10 sehingga kita dapatkan persamaan sebagai berikut

y = ax2 + bx –6

–10 = a(1)2 + b(1) – 6

–10 = a + b – 6

a + b = –10 + 6

a + b = –4 ……………………………. Pers (4)

Dengan mensubtitusikan persamaan (3) ke persamaan (4), kita dapatkan nilai b sebagai berikut

a + b = –4

(6 + b) + b = –4

6 + 2b = –4

2b = –4 – 6

2b = –10

b = –10/2

b = –5

Dengan mensubtitusikan nilai b = –5 ke persamaan (3) atau persamaan (4), kita peroleh nilai a sebagai berikut.

a = 6 + b

a = 6 + (–5)

a = 1

Dengan demikian kita dapatkan nilai a = 1, b = –5 dan c = –6 sehingga apabila ketiga nilai tersebut kita masukkan ke persamaan (1) kita dapat rumus fungsi kuadrat sebagai berikut.

y = ax2 + bx + c

y = (1)x2 + (–5)x + (–6)

y = x2 – 5x – 6